CONCEPTO DE DERIVADA UTILIZANDO LA DEFINICION DE LIMITES.

LINEAS NOTABLES DEL CIRCULO

Los siguientes conceptos son basicos para comprender geometricamente la defincion de derivada.

RADIO: Es la mitad del diámetro.
CUERDA: Segmento que une dos puntos de la circunferencia.
DIAMETRO: segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.
SECANTE: recta o segmento que se intercepta con la circunferencia cortándola en dos puntos.

TANGENTE: recta o segmento que se intercepta con la circunferencia cortándola en un solo punto.

EN EL SIGUIENTE VIDEO SE EXPLICARA LA RELACION DE CIERTAS LINEAS NOTABLES PARA HALLAR LA ECUACION PARA DERIVAR POR LIMITES

SEGUN LO ANTERIOR:


LA DERIVADA SE DEFINE COMO LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE QUE PASA POR UN PUNTO ESPECIFICO DE LA CURVA.

Y SU ECUACION ES:

EJEMPLOS DELCONCEPTO DE DERIVADA APARTIR DE LOS LIMITES.

AHORA SE EXPLICARA COMO SOLUCIONAR LA FORMULA OBTENIDA CUANDO NOS PRESENTAN UNA FUNCION:

COMO PUDIERON OBSERVAR HAY CIRCUSTANCIAS EN LAS QUE UN PRODUCTO NOTABLE PUEDE ESTAR ELEVADO A LA 4 O A LA 5 ETC, EXISTE UN METODO PARA ESTAS SITUACIONES.


TRIANGULO DE PASCAl

Es un triángulo de números enteros, infinito y simétric
o;con este triangulo se obtienen los coficientes correspondientes a cada uno de los terminos del desarrollo del binomio.

NOTAS :

-Amedida que se desarrolla el binomio en las x se disminuye el coeficiente y el de las h aumenta.

-Dependiendo del exponente del producto notable se conoce la posicion del triangulo con las que se van a trabajar, acontinuacion ejemplos donde pueden hacer el analisis de la aplicacion del triangulo de pascal.

LOS EJERCICIOS NO SE PUEDE VER CLAROS A PRIMERA VISTA PERO AL HACERLE CLICK SOBRE LA IMAGEN SE VEN MEJOR.

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

EJEMPLO 3:

EJEMPLO 4 :

EJEMPLO 5:

AHORA PRUEBATE QUE TANTO APRENDISTE!!!





REGLAS DE DERIVACION

Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de

una funcion. Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro

EJEMPLO 1

REGLA DEL PRODUCTO

La derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la primera función derivada por la segunda sin derivar.

EJEMPLO 2

REGLA DEL COCIENTE

La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadro del denominador.

EJEMPLO 3

REGLA DE LA CADENA

EJEMPLO 4

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función.

Función	Derivada
sin(x)	cos(x)
cos(x)	− sin(x)
tan(x)	sec2(x)
cot(x)	− csc2(x)
sec(x)	sec(x)tan(x)
csc(x)	− csc(x)cot(x)

EJEMPLO 5

DERIVADA IMPLICITA

se denomina función implícita cuando se da una relación entrex yy por medio de una ecuación no resuelta paray, entoncesy se llama función implícita de x.

EJEMPLO 6

AHORA PRACTICA TUS CONOCIMIENTOS CON LOS SIGUIENTES EJERCICIOS!!






APLICACIONES DE LA DERIVADA


DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Al derivar una función cualquiera y = f (x) se genera otra función y' = g (x) , como por ejemplo en el caso de que y = x a la2, al derivarla se obtiene la nueva función y’ = 2x que se llama la primera derivada. De hecho, todo el trabajo realizado hasta este momento en el presente curso ha estado encaminado a obtener la primera derivada.

Pero la primera derivada se puede volver a derivar, generándose una nueva función llamada ahora la segunda derivada; y si ésta última se vuelve a derivar, se obtiene la tercera derivada,y así sucesivamente.

}


EJEMPLO:




PUNTOS CRITICOS





Recordemos que f derivable, es estrictamente creciente (decreciente) en a si, y sólo si f´(a) >0 (f´(a) <0); lo que geométricamente significa que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es positiva (negativa).

Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal.

Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo:

1. Por la definición en un entorno del punto.
2. Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto:
   1. f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)).
   2. f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c))
3. 
   

   EJEMPLOS

   
   
4. Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable).
   1. Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
   2. Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local.

---

Demostración:

1. Por ser f´´(x) > 0 es f´ creciente en un entorno de a: a - h < a < a + h. Entonces:
2. Demostración análoga.

---

Interpretación geométrica

Al ser f´(a) = 0, (a,f(a)) es de tangente horizontal.

1. Si f´´(a) > 0, en un entorno de a es f´´(x) > 0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos aumentan.
2. Si f´´(a) < 0, en un entorno de a es f´´(x) < 0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos disminuyen.

Recordemos que los máximos y mínimos absolutos se encuentran entre los extremos relativos y aquellos en los que la función no es derivable o, ni siquiera, continua.


RAZON DE CAMBIO

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo

• El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)

• La cantidad de dinero en una cuenta en un banco

• El volumen de un globo mientras se infla

• La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje.

(si no es muy claro dale doble click en la imagen para que lo puedas ver mejor)

EJEMPLO:

Un aeroplano que vuela hacia el norte a 640 millas/h pasa sobre cierta ciudad al medio día (12h00). Un segundo aeroplano que va hacia el este a 600 millas/h, esta directamente encima de la misma ciudad 15 min. mas tarde. Si los aeroplano están volando a la misma altitud, que tan rápido se están separando a la 1:15 p.m.(13h15).

OPTIMIZACION

Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.

Se debe tener presente que la variable que se desea minimizar o maximizar debe ser expresada comofunción de otra de las variables relacionadas en el problema. En ocasiones es preciso considerar las restricciones que se tengan en el problema, ya que éstas generan igualdades entre las variables que permiten la obtención de la función de una variable que se quiere minimizar o maximizar.
En este tipo de problemas se debe contestar correctamente las siguientes preguntas:
- ¿Qué se solicita en el problema? - ¿Qué restricciones aparecen en el problema?
La respuesta correcta a la primera pregunta nos lleva a definir la función que deberá ser minimizada o maximizada.

EJEMPLO:

EJERCICIO PROPUESTOS

LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SON DE RAZON DE CAMBIO Y DE OPTIMIZACION EN ELLOS SE APLICAN TODOS LOS CONCEPTOS ANTERIORES DE AL DERVIADA INTENTALOO!!!

1. Se va a inscribir un cono circular recto dentro de otro cono circular recto de volumen dado, con el mismo eje y con el vértice del cono interior tocando la base del cono exterior. Encuentre la razón entre las alturas de dichos conos para que el volumen del cono inscrito tenga el máximo volumen.

2. Calcule las dimensiones del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio igual a 10 cm.

3. Dos aeroplanos A y B vuelan horizontalmente a la misma altura. La posición del aeroplano B es al suroeste del A, a 20 km. al oeste y 20 km. al sur de A. Si el aeroplano A vuela hacia el oeste a 16 km/min y el B vuela hacia el norte a 64/3 km/min.

a) ¿En cuántos segundos estarán los más cerca uno del otro?

b) ¿Cuál será su distancia más corta?

4. Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal con tapa que tenga una superficie total

de 80 cm2. Determine sus dimensiones de modo que tenga el mayor volumen posible.

5.Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 km. de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña, que se encuentra a 10 km. de distancia por el bosque y también a 2 km. de la carretera (ver figura). Puede caminar a una velocidad de 8 km/h por la carretera pero solamente a 3 km/h por el bosque. Así decide caminar primero hacia la carretera, después por la carretera y finalmente por el bosque hacia la cabaña. ¿Qué ángulo __minimizará el tiempo total necesario para que el excursionista llegue a su cabaña? ¿Cuánto tiempo se ahorra en comparación con la ruta directa por el bosque?