AHORA SE EXPLICARA COMO SOLUCIONAR LA FORMULA OBTENIDA CUANDO NOS PRESENTAN UNA FUNCION:
TRIANGULO DE PASCAl
Es un triángulo de números enteros, infinito y simétric
o;con este triangulo se obtienen los coficientes correspondientes a cada uno de los terminos del desarrollo del binomio.
NOTAS :
-Amedida que se desarrolla el binomio en las x se disminuye el coeficiente y el de las h aumenta.
-Dependiendo del exponente del producto notable se conoce la posicion del triangulo con las que se van a trabajar, acontinuacion ejemplos donde pueden hacer el analisis de la aplicacion del triangulo de pascal.
LOS EJERCICIOS NO SE PUEDE VER CLAROS A PRIMERA VISTA PERO AL HACERLE CLICK SOBRE LA IMAGEN SE VEN MEJOR.
EJEMPLO 1
EJEMPLO 5:
AHORA PRUEBATE QUE TANTO APRENDISTE!!!
REGLAS DE DERIVACION
una funcion. Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro
EJEMPLO 1
REGLA DEL PRODUCTO
La derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la primera función derivada por la segunda sin derivar.
EJEMPLO 2
REGLA DEL COCIENTE
La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadro del denominador.
EJEMPLO 3
REGLA DE LA CADENA
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función.
| Función | Derivada |
|---|---|
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | − sin(x) |
| tan(x) | sec2(x) |
| cot(x) | − csc2(x) |
| sec(x) | sec(x)tan(x) |
| csc(x) | − csc(x)cot(x) |
DERIVADA IMPLICITA
se denomina función implícita cuando se da una relación entrex yy por medio de una ecuación no resuelta paray, entoncesy se llama función implícita de x.
AHORA PRACTICA TUS CONOCIMIENTOS CON LOS SIGUIENTES EJERCICIOS!!
APLICACIONES DE LA DERIVADA
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Al derivar una función cualquiera y = f (x) se genera otra función y' = g (x) , como por ejemplo en el caso de que y = x a la2, al derivarla se obtiene la nueva función y’ = 2x que se llama la primera derivada. De hecho, todo el trabajo realizado hasta este momento en el presente curso ha estado encaminado a obtener la primera derivada.
Pero la primera derivada se puede volver a derivar, generándose una nueva función llamada ahora la segunda derivada; y si ésta última se vuelve a derivar, se obtiene la tercera derivada,y así sucesivamente.
EJEMPLO:
PUNTOS CRITICOS
Recordemos que f derivable, es estrictamente creciente (decreciente) en a si, y sólo si f´(a) >0 (f´(a) <0); lo que geométricamente significa que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es positiva (negativa).
Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal.
Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo:
- Por la definición en un entorno del punto.
- Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto:
- f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)).
- f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c))
EJEMPLOS
- Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable).
- Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
- Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local.
Demostración:
- Por ser f´´(x) > 0 es f´ creciente en un entorno de a: a - h < a < a + h. Entonces:
- Demostración análoga.
Interpretación geométrica
Al ser f´(a) = 0, (a,f(a)) es de tangente horizontal.- Si f´´(a) > 0, en un entorno de a es f´´(x) > 0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos aumentan.
- Si f´´(a) < 0, en un entorno de a es f´´(x) < 0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos disminuyen.
RAZON DE CAMBIO
Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo
-
El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)
-
La cantidad de dinero en una cuenta en un banco
-
El volumen de un globo mientras se infla
-
La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje.
(si no es muy claro dale doble click en la imagen para que lo puedas ver mejor)
EJEMPLO:
Un aeroplano que vuela hacia el norte a 640 millas/h pasa sobre cierta ciudad al medio día (12h00). Un segundo aeroplano que va hacia el este a 600 millas/h, esta directamente encima de la misma ciudad 15 min. mas tarde. Si los aeroplano están volando a la misma altitud, que tan rápido se están separando a la 1:15 p.m.(13h15).
OPTIMIZACION
En este tipo de problemas se debe contestar correctamente las siguientes preguntas:
- ¿Qué se solicita en el problema? - ¿Qué restricciones aparecen en el problema?
La respuesta correcta a la primera pregunta nos lleva a definir la función que deberá ser minimizada o maximizada.
EJEMPLO:
1. Se va a inscribir un cono circular recto dentro de otro cono circular recto de volumen dado, con el mismo eje y con el vértice del cono interior tocando la base del cono exterior. Encuentre la razón entre las alturas de dichos conos para que el volumen del cono inscrito tenga el máximo volumen.
2. Calcule las dimensiones del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio igual a 10 cm.
3. Dos aeroplanos A y B vuelan horizontalmente a la misma altura. La posición del aeroplano B es al suroeste del A, a 20 km. al oeste y 20 km. al sur de A. Si el aeroplano A vuela hacia el oeste a 16 km/min y el B vuela hacia el norte a 64/3 km/min.
a) ¿En cuántos segundos estarán los más cerca uno del otro?
b) ¿Cuál será su distancia más corta?
4. Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal con tapa que tenga una superficie total
de 80 cm2. Determine sus dimensiones de modo que tenga el mayor volumen posible.
5.Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 km. de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña, que se encuentra a 10 km. de distancia por el bosque y también a 2 km. de la carretera (ver figura). Puede caminar a una velocidad de 8 km/h por la carretera pero solamente a 3 km/h por el bosque. Así decide caminar primero hacia la carretera, después por la carretera y finalmente por el bosque hacia la cabaña. ¿Qué ángulo __minimizará el tiempo total necesario para que el excursionista llegue a su cabaña? ¿Cuánto tiempo se ahorra en comparación con la ruta directa por el bosque?
